1. moyennes et variances.

On considère la série de données (x_i) i = 1, …, 10 suivante :

x₁ = 1, x₂ = 3, x₃ = 2, x₄ = 7, x₅ = 6, x₆ = 5, x₇ = 10, x₈ = 9, x₉ = 8, x₁₀ = 4

1) La moyenne et la variance de la série (x_i) i = 1, …, 10 sont égales à :

mx = 5.5

sx^2 = 8.25

sx = 2.87

Pour effectuer les calculs, on pourra remarquer que les observations xi sont les entiers de 1 à 10, et utiliser les formules rappelées dfans les compléments :

Somme des entiers de 1 à n : n x (n+1)/2

Somme des carrés des entiers de 1 à n : n x (n + 1) x (2 n +1)/6

2) On pose, pour tout i = 1, …, 10 : y_i = x_i + 2. La moyenne de la série (y_i) est bien sûr la moyenne de la série (x_i) augmentée de 2. La variance reste la même : c’est une propriété importante de ce paramètre.

my = 5.5

sy^2 = 8.25

sy = 2.87

3) On pose, pour tout i = 1, …, 10 : z_i = 3 x x_i. La moyenne de la série (z_i) est égale à celle de la série (xi) multipliée par 3, et la variance est multipliée par 9.

my = 16.5

sy^2 = 24.75

sy = 4.97

4) On considère une série (y_i) i = 1, …, n définie par : y_i = x_i + k pour i = 1, …, n où le terme k représente un nombre constant. La propriété concernant la moyenne est évidente.

En ce qui concerne la variance, il suffit de remarquer que la variance est la moyenne des carrés des écarts de la forme y_i – m_y. On a :

y_i – m_y = x_i + k – (m_x + k) = x_i - m_x

La variance reste donc constante.

my = mx + k

sy^2 = sx^2

5) On considère une série (z_i) i = 1, …, n définie par z_i = k x x_i pour i = 1, …, n où le terme k représente un nombre constant. La moyenne est évidemment multipliée par k.

En ce qui concerne la variance, il suffit de remarquer que la variance est la moyenne des carrés des écarts de la forme y_i – m_y. On a :

y_i – m_y = k x_i– k m_x = k (x_i - m_x)

(y_i – m_y)² = k x_i– k m_x = [k x (x_i - m_x )]² = k² x (x_i - m_x )²

La variance est donc multipliée par k².

mz = k x mx

sz^2 = k^2 x sx^2

6) On considère maintenant la série de données (y_i) i = 1, …, 10 suivante :

y₁ = 9, y₂ = 3, y₃ = 1, y₄ = 10, y₅ = 5, y₆ = 3, y₇ = 3, y₈ = 9, y₉ = 7, y₁₀ = 6

La somme des valeurs y_i est égale à 56. la moyenne est donc m_y = 5.6

La somme des valeurs y_i² est égale à 400. La variance est la moyenne des carrés (40) moins le carré de la moyenne (5.6²) On trouve :

my = 5.6

sy^2 = 8.64

sy = 2.94

7) Soit m_x la moyenne d’une série (x_i), i = 1, …, n, et m_y la moyenne d’une série (y_i), i = 1, …, n. La somme des observations x_i est égale à n x m_x et la somme des observations y_i à n x m_y. La somme des observations (x_i + y_i) est donc égale à n x mx + n x my. On en déduit que la moyenne de la série (x_i + y_i) est :

m_x+y = m_x + m_y

8) On considère la série (z_i’) i = 1, …, n définie par

z_i’ = x_i – m_x + y_i – m_y

D’après la question 4, la série (x_i – m_x) a pour moyenne 0 puisque la constante k que l’on ajoutre est égalme à m_x. De même la série (y_i - m_y). La moyenne m_z’ de la série (z_i) est la somme des moyennes des séries (x_i – m_x) et (y_i – m_y). Chacune de ces moyennes étant nulle, on trouve m_z’ = 0.

La variance s_z’² de la série (z_i’) est la moyenne des carrés moins le carré de la moyenne. On a :

z_i’² = [(x_i – m_x) + (y_i – m_y)]² = (x_i – m_x)² + (y_i – m_y)² + 2 (x_i – m_x) et (y_i – m_y)

La moyenne des z_i² est donc la somme des moyennes des termes du second membre. On reconnaît s_x² et s_y². On trouve finalement :

	2	n
sz’^2 = sx^2 + sy^2 +	–––	S	(xi – mx)(yi – my)
	n	i = 1

La série (z_i) i = 1, …n. définie par :

z_i = x_i + y_i

est obtenue en ajoutant m_x + m_y à la série (zi’). Sa moyenne m_z est la somme de la moyenne mz’ et de la constante m_x + m_y et sa variance est égale à s_z’² :

		2	n
mz = mx + my	sz^2 = sx^2 + sy^2 +	–––	S	(xi – mx)(yi – my)
		n	i = 1